首页 > 古籍 > 卷七学术七测算上-皇朝经世文三编

卷七学术七测算上

算学捃华百篇任测一恒星欲定北极度其法若何汪凤藻 * 图略如图甲己乙丙子午圈甲乙为地平丙为天顶丁为所推之北极则戊己为赤道任测一星如子欲定北极出地度法先测得子庚赤道北纬度戊庚星距午线赤道经度及子辛高度乃取丁子丙斜弧三角形用垂弧法作子丑垂弧高弧交地平点近子点则垂弧在形内出地度少近午点则垂弧在形外出地度多分原形为丁子丑子丑丙二正弧三角形有丁子弧象限减北纬子丙弧象限减高度丁角即戊庚赤经度及丑直角先求子丑垂弧次求丁丑及丑丙二弧相加得丁丙以减丙甲象限余丁甲即所推北极出地度金星二百二十五日一周某日与地同行试推须俟若干日复 [ 与地同行](推北极出地度 ) 蔡锡勇答曰五百八十四日又五分日之二按金星绕日一周为地球绕日一周八分之五乃有比例一率八五二率三六五四之一三率一四率五八四五之二地距日一万二千地径求所受光热有几分马呈忠答曰二十三亿零四百万分之一法以天球面积除地球面积即得 * 算式略以地径为一日径为百零六日距地一万二千月距地三十当月食推地影尖距月若干远贵荣答曰八十四又七分之二 * 图略如图甲乙为日径丁戊为地径壬辛为月径丙己日距地一万二千两心相距己子月距地三十两心相距命己丑为天乃有等数 * 算式略求得己丑一一四又一0五之三0 约之得一一四又七分之二内减己子月距地三 0余子丑八四又七分之二为地影尖距月之度已知月地距测日食东西视差以推日地距其法若何杨兆蓥 * 图略如图甲乙为地面二测处丙为月人在甲见月在日面丑人在乙见月在日面子法先测两处月过太阳面出入时刻以二处时刻之较变为角度量得子甲丑或子乙丑视差角又以甲乙二处距弧求得通弦甲乙而甲丙等乙丙皆为地面距月心故有甲乙丙三角形有三边求得丙角与半周减得甲丙子角既得甲丙子角即可得丙子甲角乃以子角正弦与甲角正弦比若甲丙月距地与丙子月距日比得丙子加 [ 乙 ] 丙即日地距测月地距其法若何王宗福 * 图略如图子为月甲为地面测处心为地心心子甲角为视差角乙为天顶子甲乙角为月距天顶角其外角为子甲心角法用心甲子三角形有三角及甲心边地半径求得子心边即月地二心距也日月二视径相等以何法测其真径徐广坤法以半径为一率地心距日月心为二率视角即地心视日月以日月半径为对边之角正弦为三率求得四率倍之即日月真径 * 图略如图甲为日心甲丙为日半径乙为地心乙甲为地心距日心之远自乙视甲成甲乙丙三角形乙角可测而知丙为直角求甲丙边有比例一率半径二率乙角正弦三率甲乙边四率甲丙边求得甲丙为日真半径倍之得日径测月同置闰之法与理试详言之陈寿田考之闰者日月不齐之数圣人立四仲中星以定之在璇玑玉衡以齐之职此之故乃参赞化育之道调燮四时之理不可不慎也盖其法以岁实三百六十五日四分日之一太阳每日行天一度太阴每日行天十三度十九分度之七以定三年一闰五年再闰十九年七闰万古不易之理也今以法计之以每日日行一度与月行十三度十九分度之七相减余十二度十九分度之七为一日之月距日度用通分法通为二百三十五分为法以周天三百六十五度四分度之七亦通为六千九百三十九分小余七五为实以法除实得二十九日二百三十五分日之一百二十四小余七五约为二十九日九百四十分日之四百九十九小余七五为朔策乃以每岁三百六十日与岁实三百六十五日四分日之一相减余五日四分日之一通为五日九百四十分日之二百三十五为一岁之气盈以朔策二十九日九百四十分日之四百九十九与三十日相减余九百四十分日之四百四十一为一月之朔虚以十二月乘之得五千二百九十二分以九百四十分收之得五日九百四十分日之五百九十二为一岁之朔虚乃以一岁之气盈朔虚日数相并得十日九百四十分日之八百二十七即一岁之闰率递加之得逐岁之闰率视某岁某月无中气即可定闰月也此即置闰之法至于其理乃气盈朔虚所积 [ 而 ](面) 成何谓气盈气中气也盈有余也朔月与日会光尽而复苏也虚不足也夫岁有十二月月有三十日三百六十日一岁之常数也太阳行黄道一周日与天会则三百六十五日五时三刻三分奇较常数多五日五时三刻三分有奇是谓气盈此系用时刻分与前同以周日分之得前法之气盈月与日会一月则二十九日十二时二刻十二分有奇若十二会三百五十四日三刻三分有奇较常数少五日十五时十一分奇是为朔虚是以置闰必以气盈朔虚为主然三年何以一闰因尚不足以尽余分五年再闰则又太过须至十九年七闰其闰余已足朔策之七倍则气数分齐乃为一章其数有常而不变此皆以平行言之也今节气合朔皆日用之实行以无中气之月为闰月凡闰月必准一节气日有盈缩月有迟疾其节气合朔有进退故置闰之远近较平行复有参差然至十九年则盈缩迟疾已过数周合而计之实行与平行之数亦得近合矣有半球体求重心王锺祥 * 图略如图子丑寅为半球体作丑子丑寅二线成丑子寅圆锥形取丑辰四分之一午点为圆锥重心既得圆锥重心以反比例求之即得半球之重心有比例如左一率半球体积二率圆锥体积三率圆锥重心四率半球体重心半周有质弧线求重心王宗福 * 图略如图甲丙乙为半周有质弧线丙心为半径半径自乘以象限周除之得重圆二心距丁心丁点即重心 * 算式略有半圆面截去六十度截线正交圆径求残积之重心王宗福 * 图略如图甲丙乙半圆面丙乙六十度丙丁正交甲乙径求甲丙丁残积之重心先作心丙半径将残积分为甲心丙丙心丁二分丙心丁句股之句为半径之半求得丙心丁之重心为卯复求得半圆重心比例得一百二十度甲心丙积之重心如子作子卯线甲丁丙积与丙心丁积比若子卯与子丑比丑即所求重心有端砚一块长一尺宽五寸厚二寸作一圆池距三边各五分深一寸二分求重心距各边若干博勒洪武 * 图略如图甲乙丙丁为砚丙戊庚丁甲乙庚戊二正方相等壬子圆池圆距丙戊丙丁丁庚三边皆五分法先求得壬子积与丙戊庚丁积相减余三二四八甲乙戊庚积亦为五十方寸则有比例如左一率共积二率共长三率丙戊庚丁残积三二四八四率丁心一九求得丁心一九则距甲乙边三寸四分强距丙丁边六寸六分距甲丙乙丁皆二寸五分有杠杆长二十七尺以人力百斤欲移动千二百五十斤之石试推其倚所当在何处杜法孟答曰距石二尺内 * 图略法以力重相加为一率杆长为二率力为三率求得四率得倚所有铁锤四其重如三四五六之数按次分悬于直杆每锤相距一尺试求定点杨兆鋆 * 图略如图甲乙丙句股面取甲乙句三分之一于丁甲丙股三分之一于戊各作垂线丁己戊庚交点心即句股面重心切心点正交乙丙作线辛壬作辛点为合弦平地平之点而戊辛等甲丁戊心辛与本形同式故比例如句与戊心句三之一一相乘股除之得戊辛以加戊丙得辛丙大分减甲戊得甲辛小分又法用心庚己形求之有等式 * 算式略求得辛丙即大分减股得小分有句八股十五句股面于弦取二点令悬之一句平如地平一股平如地平其法若何席淦 * 图略如图先求句股重心甲自甲作句股之垂线引长至悬弦于丙辛二点则句股合地平丙己为弦三之一辛己为弦三之二何也甲丁为庚丁三之二乙丁必为戊丁三之二丙乙与戊己平行丙丁必为己丁三之二而丙己必为三之一又己甲为己癸三之二己壬必为己戊三之二辛壬与丁戊平行则辛己必为丁己三之二丙己五六六六六辛己一一三三三三有膛径尺五若以铁较水重八倍求其子轻重若何贵荣法以方圆边线相等体积不同定率立方一九九八五九三一七为一率球积一为二率膛以一五自乘再乘得三三七五为三率求得四率一七六七寸又一九九八五九三一七之二七八五八六八六一为球积再以水每方尺率七十六斤化为一千二百一十六两以一千寸除之得每方寸十二线又二十五分之四以乘球积得二一二四再八倍之得一六九六三二以十六除之得一千六百斤强即子重有鎗子向上直放二十秒始落求其升高若干并作图明其理文续答曰一千六百尺法以二十秒折半自之得一百以初秒所过之路十六尺乘之得一千六百尺即所求之高 * 图略如图甲乙丙三角形甲乙等纵线为时乙丙等横线为速十秒内所过之路即为甲乙丙三角形积有物下坠数秒而末秒之路为全路三分之一试求其秒数时永清答曰七秒又一七八二二方根为一四一四二三方根为一六四三一两根较为二二八九乃有比例一率两根较二二八九二率三方根一六四三一三率一秒四率七秒又一七八二 * 图略如图甲乙丙为全路积甲丁戊积为三分之二戊丁乙丙积为三分之一甲乙为共时丁乙为一秒甲乙丙积与甲丁戊积比若三与二比甲乙丙积与甲丁戊积比又若甲乙方与甲丁方比即三与二比若甲乙方与甲丁方比亦即三方根与二方根比若甲乙与甲丁比故三方根二方根较与三方根比若甲乙甲丁较之丁乙一秒与甲乙共时比有一其最远界二十里移于高山顶高出平地四十里下测一敌营须用四十五度方向方能及之求营距若干远王宗福答曰四十里 * 图略如图甲为甲壬为四十五度方向丑为拋物线顶点甲辛即山高丁为敌营丑未五与丙未方一百比若丑未加己丁四五与己未方九百比得己三十即得甲己 [ 即]辛丁距四十里今有台六百九十七尺长对面有敌国兵船从此头视之成角八十四度四十分从彼头视之成角八十六度三十分求船距二处及台与船最近之处相距各若干杨枢答曰船距此头四千五百三十一又距彼头四千五百一十九尺台与船最近之处相距四千五百十一尺 * 图略先求乙角法以丙角八十四度四十分与丁角八十六度三十分相并以减半周一百八十度余八度五十分为乙角度数次求乙丁边一率乙角正弦九一八六二八二率丙丁边二八四三二三三率丙角正弦九九九八一一四率乙丁边三六五五六检表得乙丁边四千五百一十九尺次求乙丙边一率乙角正弦九一八六二八二率丙丁边二八四三二三三率丁角正弦九九九九一八四率乙丙边三六五六一三检表得乙丙边四千五百三十一尺末求乙戊中垂线一率半径一0000000 二率丙角正弦九九九八一一三率乙丙边三六五六一九四率乙戊垂线三六五四三0 检表得四千五百一十一尺即台与船相距最近之处今有兄弟三家欲掘井使距各家维均甲乙相距二十丈乙丙二十二丈丙甲二十四丈试推其井应在何处与距各家之远近若何左秉隆答曰井与各家相距十二丈五尺有奇 * 图略如图以甲丙为一率甲乙乙丙和为二率甲乙乙丙较为三率求得四率为底边较三丈五尺与甲丙相减半之为句以甲乙为弦求得股十七丈四尺余为甲乙丙三角形之中垂线次以中垂线为一率甲乙为二率乙丙为[三]率求得四率二十五丈有奇为圆径半之为井与各家相距数今有弧矢田试作一界线平分为二分杜法孟 * 图略如图丙乙甲弧矢田先作乙甲直线自乙甲弧折半丁点至壬作丁壬小矢自壬至丙作壬丙线以丁壬丙[为界](乙)即分弧矢田为两平分解曰丁壬甲等于丁壬乙自壬与乙丙平行作壬戊线与甲丙平行作壬辛线则成壬戊甲壬戊丙辛壬乙辛壬丙四句股形等式等积甲壬丙乙壬丙皆得二句股积故等又解曰丁壬甲等于丁壬乙甲壬丙乙壬丙二三角形其底等甲壬等于乙壬其高又等同以壬丙为高故其积等弧矢形内求任作相切二圆其心俱在弧背其周俱切弦其法若何杨兆鋆 * 图略法自大圆心作心甲半径取甲点作戊辛之垂线甲丙以甲为心甲乙为度作圆乙即甲圆周切弦之一点引长甲丙线至丁作丁甲半径甲即甲圆心切弦之一点自丁至戊作丁戊线割甲圆周于己即二圆切点乃作甲己线引长至弧背得庚点即为庚圆心以庚己为度作圆其切弦点为壬即丁戊线交弦之点也三角内求作相等相切六圆懿善 * 图略平分三边形之三边于一二三作乙一丙二甲三三中垂线相交于丁平分丁甲一角作分角线遇丁一线于子以丁为心以丁子为度度于二三两线遇于丑与寅则丑子寅为所求之三圆心而子一为其半径若过子点作线与甲丙边平行遇甲三丙二两线于卯辰又自卯与辰各作线与甲乙乙丙两线平行则得又三圆心有长椭圆体及圆锥体椭圆短径等于锥之底径长径等于锥高此二体和即等径等高之圆柱试解其理蔡锡勇 * 图略如图甲乙丙丁为圆柱积其长甲乙戊己丙丁并同即戊己庚辛椭圆体之长径戊 [ 乙 ](己) 丁锥体之高其阔甲丙庚辛乙丁并同即椭圆体之短径锥体之底径夫浑圆本得同径圆柱积三分之二锥体得三分之一椭圆亦然今以甲丙短径求得甲壬丙癸圆面甲乙乘之为柱积三归之为戊庚辛半椭圆积亦为戊乙丁圆锥积则戊庚己辛全椭圆积必得圆柱积三分之二戊乙丁圆锥积必得圆柱积三分之一故相并即圆柱积也大球截积内求所容相等相切三球蔡兆熊 * 图略如图子辰午为大球截积子午为截积通弦己午为正弦取丑未倍己午作丑未寅等边三角形其中垂线寅己引长己申至卯今申卯等于半己申以卯为心寅为界截辰卯线于酉则酉己为小球全径乃于截积平圆内面以圆心己为心酉己为边作等 [ 边 ](趋) 边三角其三角点即小球切点也又图设三球心为乙为丙为甲作三线相连成乙甲丙等边三角形其心为戊丁为大球心作丁戊丁丙成戊丙丁句股乃立小球半径为天以代数求之 * 算式略依式是三正弦为方正字上大矢为长阔较开四个方得小球半径三大矢为长阔较开一个方为小球全径寅己方三倍午己方己卯为半较得酉己即为小球径六面体内容八面体其二体比例若何汪凤藻 * 图略如图甲乙正六面体先求作内容八等面体法取子乙乙丑丑卯卯子四面之心丙丁戊己四点作丙己己戊戊丁丁丙四线成丙戊直角四等边形即内容八面体半锥体之底面次取子丑乙卯二面之心庚辛二点作庚丙庚丁庚己庚戊辛戊辛丁辛己辛丙八线成庚辛丁己八等面体其六角均切六面体之面心欲明二体之比例命六面体之一边为甲八面体之一边为乙以数明之 * 算式略不等面立三角求重心其法若何汪凤藻法任以一面为底面求得其重心点自此点至顶角作线必过立三角重心复取一面如法作之得二线交点即所求准此自底面取重心线四分之一即重心今有正圆球三角垛共十球球径一尺求垛顶至平面高若干杜法孟答曰二尺六寸三分强 * 图略法自上层一球与中层三球四球心作六线成六等边形边与球径等以一边为弦半边为句求得股为每一线之中垂线又以一边为弦中垂线三分之二即分角线为句求得股为六等边自尖至底中心之立垂线倍之加球径为垛顶至平面之高如图子丑辰卯己午未寅酉申十球子为上层辰丑卯为中层己午未寅酉申为下层试自子辰丑卯四球心作甲乙丙丁六边形棱六角四平铺之则面亦四如壬辛各成一等边三角形试以乙丙丁一面为底取乙丙一边为弦丁丙一边折半为句求得乙戊股为底面之中垂线又以甲丙一边为弦己丙中垂线三分之二为句求得甲己股为自尖至底中心之立垂线即六边行之高亦即上层球心至中层球心之高亦即中层球心至层底球心之高故倍之加上下二半径得垛顶至平面之高又法以倍球径为边作六等边形如前法求得立垂线加球径即得如前图甲乙边倍则甲己立垂线必倍故加球径即得又法以每边自乘三归二因开平方即得自尖至底中心之立垂线如前图戊丙为甲丙线之半则戊丙方为甲丙方四分之一甲戊方必为甲丙方四分之三亦十二分之九又己戊线为甲戊线三分之一则己戊方为甲戊方九分之一甲己方必为甲戊方九分之八亦即甲丙方十二分之八亦即甲丙方三分之二故以每边自乘三归二因开平方得立垂线今有官司依平方招兵初日方边四尺以后每日递加二尺每人日给银一两二钱已支银二万六千零四十两推招了几日已招若干兵黎子祥答曰共招十四日招兵四千九百五十六名 * 算式略瓜豆同日发芽生蔓瓜蔓初日长一尺六寸以后每日所长递减半豆蔓初日长一寸以后每日所长递加半二蔓第几日相等蔡锡勇答曰五日解曰此即连比例率数瓜蔓初日所长为末率豆蔓初日所长为首率得若干率数即二蔓相等日数以代数明之 * 算式略于此可见未之指数必比层数减一命层数于天则末率恒为● 即●准代数之理上式可变为 ●为首率一之对数等于故以二之对数一0三除瓜蔓初日所长一尺六寸之对数四0二一得四加一得五为相等日数有平句有明股求圆径长秀 * 算式略有边股有平句股较求圆径廷铎 * 算式略有底句有明股求圆径长秀 * 算式略有底弦较和有高句股较求圆径辛泽贤 * 算式略有断句股较有大弦和和求圆径联印 * 算式略有明弦有底句求圆径斌衡 * 算式略有明句有平弦求圆径巴克他讷 * 算式略有平句股较有弦求圆径李逢春 * 算式略有底弦和较有句弦较求圆径左庚 * 算式略有断句股较有句弦较求圆径韩常泰 * 算式略有断句股较有明弦较较求圆径王镇贤 * 算式略有大差弦和较有断句股较求圆径任敬和 * 算式略有断句股较有大弦和和求圆径王锺祥 * 算式略有股弦较有明句弦较求圆径王镇贤 * 算式略有虚句股和有大中垂线求圆径赓善 * 算式略有容方边有 [ ] 句股较求圆径王镇贤 * 算式略有圆城甲出北门东行二百步而立乙出南门直行回望见甲与城参相直复斜行至甲处其行五百六十步求城径若干廷俊答曰二百四十步立天元一为半径倍之即大弦和较甲行之路等于底句乙共行之路等于底弦明股和底句内减天元得甲[元]为大股弦较二底弦明股和内减二底句得为二明三事和即二大句弦较以乘大股弦较得寄左另以大弦和较自之得元为同数与左相消得二开方得半径倍之即全径 * 算式略二明股弦较等于虚弦和较试作图解陈寿田 * 图略如图甲乙丙明句股卯丙午虚句股试自图心己至切点作己戊线癸午与午戊等丙乙与丙戊等则丙午虚弦与丙乙午癸和等加卯丙午卯虚句股和得卯乙卯癸和为虚和和与乙丑等试取丁点令甲丁等于明弦则乙丁为明股弦较夫甲己与甲午等甲丁甲丙同为明弦以甲己减甲丁得丁己以甲午减甲丙得丙午为虚弦依显丁己亦为虚弦复取己子令与丁己等则子丑亦为明股弦较与乙丁必等丁子必为二虚弦以乙丑虚和和减之得乙丁子丑二之虚弦和较亦即二明股弦较故二明股弦较等于虚弦和较也虚句弦较等于句股较试作图解英铎 * 图略如图子丑虚句丁戊弦以子丑与丑戊句相加得子戊为平句以丁戊与地丁股相加得地戊亦为平句试于子戊平句内减去丁戊弦余必等于地丁弦再于地丁股内减 [ 丑戊]句余即为句股较也大股内减边弦等于平句股较试作图解陈寿田 * 图略如图戊为圆心甲乙为大股作丁戊线与丑戊正交戊丁丙平句股甲丁壬为边句股甲丁为边弦丙丁为平句丙戊平股与丙乙等则丁乙即平句股较以甲乙减甲丁得丁乙即平较故大股减边弦等于平句股较也大股内减平句股较等于边股平句和试作图解懿善 * 图略如图甲乙丙大句股甲己丁边句股丁戊丙平句股甲乙大股甲己边股丁戊平股己乙等取己庚如丙戊为平句己乙平股内减己庚平句即庚乙平句股较故甲乙大股内减庚乙平句股较等于甲己边股加己庚平句句股和内减虚股弦较等于弦试作图解承霖 * 图略如图庚壬丙为半径为股之平句股其弦则庚己虚弦己丙弦和其股则庚戊虚股戊壬股和其股弦较必为虚股弦较股弦较和而丁辛乙辛同为半径则平股弦较又等句依句股例和较小较相加为句则[虚]虚股弦较必等弦和较句股和减弦和较即虚小较故等于弦明股句相乘等于虚句股积试言其理王宗福 * 图略如图甲子己大句股外之丙天丁为虚句股今自圆心作甲己之垂线心地则丙地等丙辰明句地丁等丁戊股天辰内减天丙虚句余为半虚较和天戊内减天丁虚股余为半虚较较缘天辰天戊均为半虚和和故按较较乘较和等于二直积则明句之半虚较和乘股之半虚较较必等于虚句股积惟明句乘股原等于句乘明股故明股句相乘等于虚句股积高股乘平句等于明股弦和乘句弦和试作图解胡玉麟 * 图略如图甲乙丙大句股乙丁容圆方自心至切点作戊己线正交甲丙则辛己戊为高句股戊己庚为平句股以半径为勾半径为股故己癸等癸寅己子等子丑则辛己高股为明句弦和己庚平句即为股弦和故明句弦和高股与句弦和比若明股弦和与股弦和平句比大差句乘小差句等于虚句乘大股亦等于边股乘倍股试作图解胡玉麟 * 图略如图甲乙丙大句股乙丁容圆方戊辰丙底句股癸午丙平句股子寅大差句己丑小差股自圆心至切点作甲丙正交线辛壬则戊壬辛为高句股辛壬癸为平句股以半径为句半径为股故壬癸等丙午壬丙即等丙辰则戊丙底弦减壬丙底句余戊壬等甲庚庚乙原等戊辰则甲乙大股即为底弦较和又壬己等己未子壬即等子卯作己申线与丙乙平行作子酉线与丁丑平行则戊申等戊壬申辰即为底弦和较等申辰之己丑亦为弦和较子酉癸亦为平句股辛未等丁未则未癸为平股弦较未酉即为平弦和较等未酉之丁子亦为其弦和较夫寅丁全径原为二平股内减丁子平弦和较则子寅大差句即平弦较和也故平弦较和大差句与底弦较和大股比若平弦和较虚句与底弦和较小差股比又壬子等子卯寅亥等寅卯甲壬即等甲亥则壬癸即为边股弦较壬癸原等癸酉则酉亥即为边弦和较等酉亥之子寅亦为其弦和较又壬己原等己未丑辰原等丑未二壬丙即小差三事和内各减己丙小差弦 [ 余 ]二己壬股即为小差弦和较故边弦和较大差句与小差弦和较 [ 二股 ]比若边股与小差股比弦和较乘弦和和等于二直积试作图明其理汪远焜 * 图略如图甲乙丙句股形以弦句为半径各作圆引长乙丙股至己及丁末作甲己甲戊二直线则成甲丙己甲丙戊大小二同式句股形丁戊小句股较本形弦和较与甲丙 [ 小股] 本形句之比若丙壬丙己内减去等丙戊之己壬即得大小二句股较和本形二股与甲丙丙己大小二股和本形弦和和之比故弦和较乘弦和和等于二直积中垂线乘弦等于圆径乘半和试作图明其理贵荣 * 图略如图甲乙丙句股形甲壬句弦较癸丙股弦较壬癸为弦和较方即圆径方依乙丁中垂线平行作甲午丙己二线次依甲丙平行作戊己线联之则戊丙为中垂线乘弦移甲乙戊于丙庚辛移丙乙己于甲庚辛戊丙中垂线乘弦必等于辛乙句股直积除甲癸矩不动外移子癸股弦较乘弦和较于癸丑将辛寅股弦较乘句弦较改为甲卯弦和较半方则卯丑圆径乘半和辰丑弦和较即圆径亦等于辛乙句股直积卯丑与戊丙既各等句股直积则二矩宜无不等所以中垂线乘弦等于容圆径乘半和三事和乘边线较等于圆径乘边线和试作图明其理王锺祥 * 图略如图甲乙丙句股形乙丁中垂线乙己戊己均为方边自己作乙丁丁丙之垂线己庚己辛成乙庚己戊辛己二句股形与本句股形同式均以方边为弦则二形必等夫庚己等己辛亦等庚丁则乙庚己三事和即等于边线和而边线较即等其弦和较故大三事和与小弦和较即边线较相乘等于小三事和即边线和与大弦和较即圆径相未也句乘弦较较等于三事和乘股弦较试作图明其理贵荣 * 图略如图甲乙丙句股形以弦为半径作丙戊己丁圆次从丙角作丙丁及丙戊二线成丁乙丙及丙乙戊大小二同式句股形何则试引长丙乙作丙己线丙己正交丁戊各至圆界戊己弧等于戊丙弧丁己弧等于丁丙弧小形丙角所当戊己弧与大形丁角所当戊丙弧等小形戊角所当丁丙弧与大形丙角所当丁己弧等余二乙角又俱直角所以同式大句本形句与大句股和本形三事和之比若小句本形股弦较与小句股和本形弦较较之比句弦和乘弦和较等于弦较较乘股试作图明其理贵荣 * 图略如图甲乙丙句股形丁乙为弦和较丁戊为其方戊丙为股弦较戊己为其倍乙己为弦较较甲丁为句弦较甲己矩为弦较较乘股幂除甲戊矩不动外试将庚辛二股弦较乘句弦较矩改为戊壬弦和较方次移辛己二股弦较乘弦和较矩补于壬癸成一甲癸幂其长即句弦和其阔即弦和较与原积甲己幂必等倍股乘股弦较等于弦和较乘弦较较试作图明其理杜法孟 * 图略如图甲乙丙句股形丙子为股弦较丙丁为其方丙戊为句丙己为其方戊子为弦和较戊庚丁盘折形为弦和较乘弦较较丁辛壬盘折形为倍股乘股弦较二形之积等试各加一丙丁正方则子辛壬为股弦较乘股弦和丙己为句方其积原等今各减一丙丁正方其积仍等句弦较乘倍股弦和等于弦较和自乘试作图明其理贵荣 * 图略如图甲乙丙句股形依弦作戊丙己半圆甲为圆心从形心作三分角线及三垂线复从丙作丙戊线成戊乙丙甲丁心大小二同式句股形可以比例一率小句股较本形句弦较二率倍小股本形弦较和三率大句股较本形弦较和四率倍大股本形倍股弦和前题李逢春 * 图略如图甲乙丙为边句股丁戊己为明句股甲庚己为大差句股戊辛为明句自乘壬癸与边句等庚壬为明句乘边句之积倍之得丑壬为明句乘边句之倍积必与子辛大差句自乘等何则因丑辛为同用之积所余子寅寅壬二积亦等因卯寅为二明句乘虚句寅辰亦为二明句乘虚句卯丑为平弦和较方午壬为平股弦较乘二平句弦较此二积又等故明句乘倍边句等于大差句自乘也明句即句前题王文秀 * 图略如图甲乙丙句股形以股为半径截弦于丁丁丙为股弦较与丙戊等乙戊为弦和较作己戊方甲己为句弦较庚己为其倍自庚作直线切辛角而至丙即弦和较为股弦较二句弦较之中率故必切辛角成大小二同式形故庚己小股即二句弦较与庚己辛小句股和即弦较和之比若庚乙大股即弦较和与庚乙丙大句股和即股弦和之比弦较边句即股弦和大差句即弦较和股弦和乘倍句弦较等于弦较和自乘试作图明其理汪凤藻 * 图略如图甲乙丙句股形甲丙为股乙丁为股弦和乙戊为其方己丁为弦较和己庚方弦较和自乘也己辛为倍句弦较辛壬长方股弦和乘倍句弦较也曷见己庚辛壬二形积等乎曰除同用之己癸矩余丁癸弦和较承弦较和癸壬句乘倍句弦较二长方形试于丁癸形内作庚子方弦和较自乘于癸壬形内作癸丑矩股弦较乘倍句弦较为等积尚余子丁丑午二形同为弦和较乘倍句弦较又相等即丁癸与癸壬等矣次每加一己癸矩则己庚方不与辛壬长方等积乎句弦较乘句弦和再以句乘之与股乘倍句股积等试作图明其理杜法孟 * 图略如图庚己为句子辛等庚辛为股己戊等己辛为直积即二句股积再以己戊股乘之得辛戊一立方积子壬为句弦较乙丙等子乙为句弦和壬丙等子丙为句弦和乘句弦较再以子辛句乘之得辛丙一长立方积与辛戊之积等盖子丙面积为句弦较乘句弦和子戊面积为股自乘方其面积原等庚己子辛俱为句其高度又等故二立方之积等前题贵荣 * 图略如图甲乙丙句股形甲戊股幂乙丁句乘股直积即倍句股积并之得丁戊矩为句股和乘股幂己丁边句股和试截乙己大方股幂即句弦较乘句弦和盖句弦较乘句弦和原等股幂与乙丁小方倍句股积之比若甲己大边股与甲丁小边句之比即股乘股与股乘句之比若股与句比故句乘股幂 [ 即句弦较乘句弦和 ]等于股乘倍句股积句股形容长方有句股较有长阔和有积较求句股及长阔陈寿田 * 算式略右开方得句股和加句股较半之得股减句股较半之得句句股和句股较各自乘相减入归之为句股积减积较得长方积四因之以减长阔和自乘开平方得长阔较与长阔和相加半之为长与长阔和相减半之为阔有直积一百二十有句股二方较一百六十一求句股弦各若干联秀答曰句八股十五弦十七 * 算式略开方得八为句自之加二方较开方得股十五用句股求弦法得弦十七今有容方容圆二径和一百三十尺二径较加中垂线九十四尺求边径线各若干胡玉麟答曰方边六十尺圆径七十尺中垂线八十四尺 * 算式略开方倍之得容圆径七十尺于甲数内减之余六十尺为方边乙数内减二径较十尺余八十四尺即中垂线前题王宗福答曰方边六十尺圆径七十尺中垂线八十四尺 * 图略如图甲己辛句股形卯辰丁午均为 [ 圆 ](图) 径丙庚庚己均为方边己丁为中垂线自庚作庚子庚癸二垂线成丙庚子己庚癸二同式句股形弦既等则句股亦等而癸庚等庚子亦等癸丁即己癸庚句股和等中垂线又自丑作丑寅垂线丑乙半径成乙丑寅句股形与本形同式即亦与丑己戊同式己丑与丑乙同为半径既等则寅丑等戊己寅乙等戊丑移乙丑于乙卯移寅卯于戊丁则乙丑寅三事和等于中垂线而乙丑寅弦和较等于线径较以代数求之有等式 * 算式略开方得边六十与和相减余七十为圆径于九十四内减二径较十余八十四为中垂线城根有河不知其阔由城楼顶引绳至河之外岸绳长一百九十五尺楼高一百六十九尺求河宽若干廷俊答曰九十七尺强 * 算式略有甲乙二物俱不知价但云甲价之立方三倍等于乙价之平方而乙价之立方等于甲价之平方八十一倍求甲乙价各若干王文秀答曰甲三乙九天地二元细草立天元一为甲价立地元一为乙价天元自之又以天元乘之又以三乘之得 ●乃以地元自之得●为同数与左相消得●为今式置天元自之以八十一乘之得●乃以地元自之又以地元乘之得●为同数与左相消得 ●为云式以地元乘今式直减云式得 ●为右行与今式之左一行相乘得● 又以今式与右行之左一行相乘得● 二数相消得●为左行置左右二行以内二行相乘得●相消得 ●外二行相乘得●相消得 ● 开四乘方得甲价三乃以三自乘再乘又以三乘之得八十一以平方开之即得乙价九今有甲乙二数不知多少但知甲之三乘方根等于乙甲乙二数相乘倍之等于四倍乙之自乘数求甲乙数各若干赓善答曰甲十六乙二 * 算式略今有人赎质物本利共钱九千八百五十文只云利钱平方开之得数以加本钱共五千六百九十文又开方数为日数一百二十五分之十三求本利及日数每十文月利若干每月三十日不用小建王文灏答曰本五千六百二十五文利四千二百二十五文日数六百二十五日 * 算式略今有人赌钱失本四分之一复得三两旋失三分之一又得二两终于失七分之一仅剩十二两求本银若干王文灏答曰二十两 * 算式略今有富翁有银九万分与四儿多寡不同但云大儿之银以二除之二儿之银减二千三儿之银加二千四儿之银以二乘之则皆等求四儿银各若干塔克什讷答曰大儿四万二儿二万二千三儿一万八千四儿一万 * 算式略今欲造正方台三座甲台之边多于乙台边七尺乙台之边多于丙台边五尺定造砖见方五寸共十二万一百八十四枚求三台各高若干贵荣答曰甲台高二丈二尺乙台高一丈五尺丙台高一丈 * 算式略开方得四四折半得二丈二尺为甲台高减七尺得一丈五尺为乙台高又减五尺得一丈为丙台高大小月每十九年循环共二百三十五计日六千九百四十求大小月各若干熊方答曰大月一百二十五小月一百一十法以二百三十五用月小之二十九日乘之得六千八百一十五日以减六千九百四十余一百二十五即大月数以大月数减二百三十五余一百一十即小月数更以一百二十五用三十日乘之得三千七百五十以一百一十用二十九日乘之得三千一百九十并之恰得六千九百四十合问欲造一土台上广二丈长三丈下广二丈三尺长三丈五尺高一丈八尺每日每人程工八立尺用匠七十二人几日毕工沈铎答曰二十一日又八分日之七法以上长三丈倍之得六丈加下长三丈五尺共九丈五尺以上广二丈乘之得一九0 0尺另倍下长得七丈加上长三丈共得十丈以下广二丈三尺乘之得二三00尺以两数相并得四二0 0尺以一丈八尺乘之得七五六00尺以六除之得一二六00为实以七十二人乘每日每人程工八立尺得五七六为法除之得二十一日又八分日之七今有塔系石砖木造成全高三分之一为石四分之一为砖六分之一为木但知瓦顶三丈六求塔高若干彦慧答曰十四丈四尺 * 算式略法以三分之一展为六分之二加六分之一得六分之三收为四分之二加四分之一得四分之三为石砖木之高则瓦顶三丈六自必为四分之一以四倍三丈六得十四丈四尺即塔高今有长方营盘南北一百八十丈东西一百二十丈四面濠沟与营盘同积求濠沟宽若干联芳答曰三十丈 * 算式略某火药局藏硝炭磺不知各若干斤亦不知共若干斤但云于其共重之半加二千五百斤为硝于其共重之四分之一减一千斤为炭于其共重十分之二减一千斤为磺试推其共重若干斤朱格仁答曰一万斤 * 算式略制球形炸径一尺二寸厚三寸求需铁若干李逢春答曰五千三百零三两三钱强先求大球积一率定率立方积一000000 000 二率定率球积五二三五九八七七五三率今有立方积一七二八四率今求大球积九0四又七七八六八三三0八次求小球积一率定率立方积一000000 000 二率定率球积五二三五九八七七五三率今有立方积二二六四率今求小球积一二三又0八0三三五四00 既得大小二球相减余七九一六九一三四七九00以方寸铁重六两七钱乘之得五千三百零三两三钱强即所求今有马二匹鞍一副值银二十两加于此马则与彼马价等加于彼马则与此马价相倍求马价各若干贵荣答曰此马价值四十两彼马价值六十两 * 算式略有某问渔者得鱼若干对曰以鱼数自乘加十三开平方以十二乘之以四减之其数为八十试推鱼数辛泽贤答曰六鱼 * 算式略今有钱不知数欲匀分于若干人每人十二文多十二文每人十四文少十四文求人数钱数各若干博勒洪武答曰人数十三钱数一百六十八法以天代钱数以地代人数得方程式 * 算式略今有卖柑者云我果共值钱一万六千四百六十四文每果值钱倍于筐数每筐盛果三倍于筐数求筐果各若干王镇贤答曰筐十四只果五百八十八枚 * 算式略设一达官有侍姬八人每日令二人待饮周而复始每周不得二人两次同班求钱日一周每人每周值班几日博勒洪武答曰一周二十八日每人每周值班七日法以八减去一得七为高以八乘之得五十六折半得二十八即一周日数再题言每周不得二人两次同班则八减一得七即每周每人值班日数有船载男妇小儿九十人男较妇多四小儿较男妇多十求各数若干联第答曰男二十二名妇十八名小儿五十名法以男妇小儿九十名内减十小儿余八十折半得四十内减四男余三十六折半得十八即妇人共数加四男得二十二即男人共数男妇二数相并得四十再加十小儿得五十即小儿共数今有桃梅李三果只云三桃比二梅二李价多二十四文二桃三李比五梅价少十二文四桃三梅比八李价多一百零八文求三果价各若干时南化答曰桃价四十八文梅价三十六文李价二十四文 * 算式略问乡人种地若干曰若以亩数加四开平方复加原数得二十六求原数若干庆全答曰二十一 * 算式略试将甲乙二数之和与甲乙二数之较以代数自乘长秀 * 算式略今有绍酒三高梁酒四共银二十六两绍酒四高梁酒三共银二十七两又十二分两之一求二酒每银若干联兴答曰绍酒每四两又三分两之一高梁酒每三两又四分两之一 * 算式略有甲乙二人各买油五斤合盛一大瓶内回家欲分之既无秤又无量只有二小瓶一七斤而满一三斤而满用以量而分之其法若何王锺祥法先以大瓶之油用三斤瓶灌出二瓶俱倾入七斤瓶内次复用三斤瓶从大瓶灌出一瓶即以三斤瓶内之油将七斤之瓶续满则三斤瓶内必余二斤乃以七斤仍还入大瓶以三斤瓶内所余之二斤倾入七斤一瓶内 [ 末 ]以大瓶内所余八斤之油再以三斤之瓶灌出一瓶亦倾入七斤瓶内则七斤瓶内合前所余之二斤为五斤大瓶内亦余五 [ 斤 ] 今有将军以实体方形摆队或问每队兵数曰若于二十五万内减全营兵数余开方复以一队兵数乘之为十二万求每队兵数若干杨兆鋆答曰三百 * 算式略有句三股四句股欲于股上取一点悬之令弦平于地平其法若何席淦 * 图略如图先求句股积之重心甲自甲作弦正交线丙乙悬于丙即弦合地平求丙戊线法以戊丁戊己方倍之相并减丁己方四除之开方得戊庚四二七自庚作庚辛垂线求得戊辛大分边四一戊庚与辛戊若戊甲与乙戊二七三又丁戊与己戊若乙戊与丙戊三四一前题杨兆鋆 * 图略如图甲乙丙句股形取甲乙句三分之一于丁乙丙股三分之一于戊各作线己丁庚戊交点心即句股面重心因庚戊过心点正交乙丙己丁过心点正交甲乙故取庚己二点悬之股与句必皆平于地平又因丁己为句三分之一乙戊为股三分之一故己丙甲庚必均为弦三分之一

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